焦点が $(0, 0)$、準線が $y = 4$ である放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

焦点が $(0, 0)$、準線が $y = 4$ である放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線上の点 $(x, y)$ から焦点 $(0, 0)$ までの距離と、点 $(x, y)$ から準線 $y = 4$ までの距離が等しいという定義を利用します。

焦点からの距離は $\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$ であり、準線からの距離は $|y - 4|$ です。

よって、

$\sqrt{x^2 + y^2} = |y - 4|$

両辺を2乗して、

$x^2 + y^2 = (y - 4)^2$

$x^2 + y^2 = y^2 - 8y + 16$

$x^2 = -8y + 16$

$8y = -x^2 + 16$

$y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$