楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ について、以下の問いに答える。 (1) この楕円の長軸と短軸の長さを求める。 (2) この楕円をx軸を基準にして、y軸方向に$\frac{3}{4}$倍した図形の方程式を求める。 (3) この楕円の面積を求める。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ について、以下の問いに答える。

(1) この楕円の長軸と短軸の長さを求める。

(2) この楕円をx軸を基準にして、y軸方向に$\frac{3}{4}$倍した図形の方程式を求める。

(3) この楕円の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の方程式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ において、$a$ と $b$ はそれぞれx軸方向とy軸方向の半径を表す。

問題の楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ において、$a^2 = 9$ なので $a = 3$ であり、$b^2 = 16$ なので $b = 4$ である。

長軸はy軸方向にあり、その長さは $2b$ である。短軸はx軸方向にあり、その長さは $2a$ である。

(2) 楕円をy軸方向に$\frac{3}{4}$倍するということは、$y$ を $\frac{4}{3}y$ に置き換えるということである。

したがって、$\frac{x^2}{9} + \frac{(\frac{4}{3}y)^2}{16} = 1$ となる。

これを整理すると、$\frac{x^2}{9} + \frac{\frac{16}{9}y^2}{16} = 1$ となり、$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$ となる。

これは円の方程式 $x^2 + y^2 = 9$ と同等である。

(3) 楕円の面積は $\pi ab$ で与えられる。

問題の楕円の場合、$a = 3$、$b = 4$ なので、面積は $\pi \cdot 3 \cdot 4 = 12\pi$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 長軸の長さ: 8, 短軸の長さ: 6

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$

(3) $12\pi$