四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。このとき、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{14} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{15} \overrightarrow{OB}$となる。 また、線分CMを1:2に内分する点をNとするとき、$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{16}{17} \overrightarrow{MC} = \frac{1}{18} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{19} \overrightarrow{OB} + \frac{20}{21} \overrightarrow{OC}$となる。空欄14から21を埋める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。このとき、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{14} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{15} \overrightarrow{OB}$となる。

また、線分CMを1:2に内分する点をNとするとき、$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{16}{17} \overrightarrow{MC} = \frac{1}{18} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{19} \overrightarrow{OB} + \frac{20}{21} \overrightarrow{OC}$となる。空欄14から21を埋める。

2. 解き方の手順

まず、点Mは線分ABの中点なので、

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}$

したがって、14と15には2が入る。

次に、点Nは線分CMを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{ON} = \frac{2\overrightarrow{OC} + 1\overrightarrow{OM}}{1+2} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OM} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}) + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} = \frac{1}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC}$

したがって、18には6、19には6、20には2、21には3が入る。

また、$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{16}{17} \overrightarrow{MC}$より$\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{16}{17} \overrightarrow{MC}$であり、

$\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3} (- \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) = - \frac{1}{3} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OC})$である。

$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OC} - (\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}) = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2} (- \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC})$

よって、$\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MC}$

したがって、$\frac{2}{3} = \frac{16}{17}$であり、$\frac{16}{17} = \frac{2}{3} \iff 2*17 = 16*3 \iff 34 = 48$より、この方法は誤っている。

$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{1}{3}\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OM} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{OM} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$

$=\frac{2}{3} (\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$

よって、18には3、19には3、20には1、21には3が入る。

また$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$より、16には1、17には3が入る。

3. 最終的な答え

14: 2

15: 2

16: 1

17: 3

18: 3

19: 3

20: 1

21: 3