ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、与えられた条件から内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。 (1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2$ (2) $\vec{a} // \vec{b}$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、与えられた条件から内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2$

(2) $\vec{a} // \vec{b}$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2$ を展開すると、

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{5}$ より、 $|\vec{a}|^2 = 5$ なので、

$5 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 - 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2)

$\vec{a} // \vec{b}$ より、$\vec{b} = k \vec{a}$ (kは実数) と表せる。

$|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ より、$|\vec{a} - k \vec{a}| = 3$

$|(1-k)\vec{a}| = 3$

$|1-k| |\vec{a}| = 3$

$|\vec{a}| = 2$ より、$|1-k| \cdot 2 = 3$

$|1-k| = \frac{3}{2}$

$1-k = \frac{3}{2}$ のとき、$k = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$1-k = -\frac{3}{2}$ のとき、$k = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

$\vec{b} = k \vec{a}$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{a}) = k |\vec{a}|^2 = k \cdot 2^2 = 4k$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

$k = \frac{5}{2}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (\frac{5}{2}) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ または $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$