2地点B, Cは400m離れており、それぞれから山頂Aを見たときの角度は∠ABC=60°, ∠ACB=75°である。地点Cから山頂Aを見上げた角度は30°である。このとき、山の高さAHを求める。

1. 問題の内容

2地点B, Cは400m離れており、それぞれから山頂Aを見たときの角度は∠ABC=60°, ∠ACB=75°である。地点Cから山頂Aを見上げた角度は30°である。このとき、山の高さAHを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、∠BACを求める。三角形の内角の和は180°なので、

$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 75° = 45°$

次に、正弦定理を用いてACの長さを求める。

$\frac{AC}{\sin ∠ABC} = \frac{BC}{\sin ∠BAC}$

$\frac{AC}{\sin 60°} = \frac{400}{\sin 45°}$

$AC = \frac{400 \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{400 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 200 \sqrt{6}$

最後に、直角三角形ACHにおいて、∠ACH = 30°であるから、

$\tan ∠ACH = \frac{AH}{CH}$

$AH = AC \sin 30° = AC * (1/2)$　ではない

$\tan 30^{\circ} = \frac{AH}{AC}$

したがって、$AH = AC \times \tan 30^{\circ} = 200\sqrt{6} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 200\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

山の高さAHは、$200\sqrt{2}$ mである。