正方形と円の一部を組み合わせた図形に関する問題です。外側の正方形の1辺の長さは10cm、円周率は3.14とします。 (1) 図1の色をつけた部分の面積を求めます。 (2) 図2は図1に対角線を引いたものです。アの長さとイの長さの比を最も簡単な整数の比で表します。

1. 問題の内容

正方形と円の一部を組み合わせた図形に関する問題です。外側の正方形の1辺の長さは10cm、円周率は3.14とします。

(1) 図1の色をつけた部分の面積を求めます。

(2) 図2は図1に対角線を引いたものです。アの長さとイの長さの比を最も簡単な整数の比で表します。

2. 解き方の手順

(1)

図1の色をつけた部分の面積は、半径10cmの四分円の面積から、正方形の面積を引いたものです。

四分円の面積は、

$\frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5$ (cm$^2$)

引く正方形の面積は、50cm$^2$と図に書かれているので、

色をつけた部分の面積は、

$78.5 - 50 = 28.5$ (cm$^2$)

(2)

図2において、アは半径10cmの四分円の弧の一部であり、イは正方形の対角線の一部です。

アの長さは、中心角が45度の扇形の弧の長さです。

扇形の弧の長さは、$2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$で計算できます。アの中心角は45度なので、

アの長さ$= 2 \times 3.14 \times 10 \times \frac{45}{360} = 2 \times 3.14 \times 10 \times \frac{1}{8} = \frac{31.4}{4} = 7.85$ (cm)

イの長さは、一辺の長さが10cmの正方形の対角線から、一辺の長さが$\frac{10}{\sqrt{2}}$cmの正方形の対角線（これも対角線の半分）を引いたものになります。

一辺の長さが10cmの正方形の対角線は、$10\sqrt{2}$ (cm)。

対角線の半分は、$5\sqrt{2}$ (cm)。

イは正方形の対角線から、一辺の長さが$\sqrt{50}$ の対角線を引いたものですから、$10\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.　つまり正方形の半分は，$50 = a^2$ なので、$a=5\sqrt{2}$となりますから、イの長さは$10\sqrt{2}$　の一部分になります。

アの中心角は45度なので、アの長さは円周の1/8。円周$= 2 \times 3.14 \times 10 = 62.8$, アの長さ$= 62.8 \times 1/8 = 7.85$.　イの長さは、正方形の半分から端まで引いた長さ、$10\sqrt{2}-5\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = 5*1.414 = 7.07$.　

ア:イ$=7.85:7.07$, 大体8:

7. しかし、よく見ると、アの長さは円弧の1/8の長さであり、イは正方形の半分から対角線を引いた長さである。すると中心角は45度だから、アの半径から見た図形の対角線の角度は、$10\sqrt{2}$.なので4:5になります。

3. 最終的な答え

(1) 28.5

(2) 5:4