正方形と円の一部を組み合わせた図形に関する問題です。 (1) 図1の影をつけた部分の面積を求める問題。 (2) 図2において、弧アと弧イの長さの比を最も簡単な整数の比で表す問題。 正方形の1辺の長さは10cm、円周率は3.14とします。

1. 問題の内容

正方形と円の一部を組み合わせた図形に関する問題です。

(1) 図1の影をつけた部分の面積を求める問題。

(2) 図2において、弧アと弧イの長さの比を最も簡単な整数の比で表す問題。

正方形の1辺の長さは10cm、円周率は3.14とします。

2. 解き方の手順

(1) 図1の影をつけた部分の面積を求める。

* 正方形の面積を計算する: $10 \times 10 = 100$ cm$^2$

* 円の四分の一の面積を計算する: $(\pi \times 10^2) / 4 = (3.14 \times 100) / 4 = 314 / 4 = 78.5$ cm$^2$

* 影をつけた部分の面積は、正方形の面積から円の四分の一の面積を引いたもの: $100 - 78.5 = 21.5$ cm$^2$

* 正方形の一辺を底辺、高さを半径とする直角三角形の面積は、$10\times 10 / 2 = 50$

* 影をつけた部分の面積は正方形から直角三角形を引いてから、円の四分の一を引いて足したもの。$100 - 50 - (78.5 - 50) = 50 - 28.5 = 21.5$

(2) 図2において、弧アと弧イの長さの比を最も簡単な整数の比で表す。

* 弧アは半径10cmの円弧で、中心角が45° (π/4) の扇形の弧である。

* 弧イは半径が正方形の対角線の半分の長さの円弧で、中心角が45°の扇形の弧である。

* 正方形の対角線の長さを計算する: $\sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cm

* 弧イの半径は、対角線の半分の長さなので、$5\sqrt{2}$ cm

* 弧アの長さを計算する: $2\pi \times 10 \times (45/360) = 2 \times \pi \times 10 \times (1/8) = 20\pi / 8 = 5\pi / 2$

* 弧イの長さを計算する: $2\pi \times 5\sqrt{2} \times (45/360) = 2 \times \pi \times 5\sqrt{2} \times (1/8) = 10\sqrt{2}\pi / 8 = 5\sqrt{2}\pi / 4$

* 弧アと弧イの長さの比を計算する: $(5\pi / 2) / (5\sqrt{2}\pi / 4) = (5\pi / 2) \times (4 / 5\sqrt{2}\pi) = 2 / \sqrt{2} = \sqrt{2}$

* $\sqrt{2} \approx 1.414$

* 正方形の対角線の長さ: $10\sqrt{2}$

* 比率：$10 : 5\sqrt{2} = 2: \sqrt{2}$

* $2: \sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{2}: \sqrt{2} = \sqrt{2}: 1$

* $1.414 : 1$

* 最も近い整数比： $7:5$ に近いですが、正確な整数比を求める必要があります。

* 正方形の対角線は、$10\sqrt{2}$ であるからイの半径は、$5\sqrt{2}$。 アは10だから比率は$10: 5\sqrt{2}=2:\sqrt{2}$。有理化すると$\sqrt{2}: 1$。

* $\sqrt{2}:1$。

3. 最終的な答え

(1) 21.5

(2) $\sqrt{2}:1$