点 A と点 P の位置ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$、$\overrightarrow{OP} = \mathbf{p}$ とするとき、ベクトル方程式 $\mathbf{p} \cdot (\mathbf{p} - 2\mathbf{a}) = 0$ を満たす点 P が描く図形を求める。ここで点 O は原点を表す。

1. 問題の内容

点 A と点 P の位置ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$、$\overrightarrow{OP} = \mathbf{p}$ とするとき、ベクトル方程式 $\mathbf{p} \cdot (\mathbf{p} - 2\mathbf{a}) = 0$ を満たす点 P が描く図形を求める。ここで点 O は原点を表す。

2. 解き方の手順

与えられたベクトル方程式を変形する。

$\mathbf{p} \cdot (\mathbf{p} - 2\mathbf{a}) = 0$

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{a} = 0$

$|\mathbf{p}|^2 - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{a} = 0$

ここで、$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$ を用いて両辺に $|\mathbf{a}|^2$ を加える。

$|\mathbf{p}|^2 - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{a} + |\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2$

$(\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{a}) = |\mathbf{a}|^2$

$|\mathbf{p} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2$

よって

$|\mathbf{p} - \mathbf{a}| = |\mathbf{a}|$

これは点 A を中心とする半径 $|\mathbf{a}|$ の円を表す。

3. 最終的な答え

点 A を中心とする、半径 $|\mathbf{a}|$ の円。