$(4x+5)^7$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(4x+5)^7$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式における一般項は

$\binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

で表されます。

今回の問題では、$a=4x$, $b=5$, $n=7$ なので、一般項は

$\binom{7}{r} (4x)^{7-r} 5^r$

となります。$x^3$ の係数を求めたいので、$7-r=3$ となる $r$ を求めます。

$7-r=3$ より $r=4$ です。

したがって、$x^3$ の項は

$\binom{7}{4} (4x)^3 5^4$

となります。

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$

$(4x)^3 = 64x^3$

$5^4 = 625$

であるから、$x^3$ の係数は

$35 \times 64 \times 625 = 35 \times 40000 = 1400000$

となります。

3. 最終的な答え

1400000