(1) ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ に対して、次の等式を証明します。 $\|p\vec{x} + q\vec{y}\|^2 = p^2\|\vec{x}\|^2 + 2pq\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + q^2\|\vec{y}\|^2$ (2) $\|\vec{x}\| = 2$, $\|\vec{y}\| = 1$, $\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = \frac{1}{2}$ のとき、$\|\vec{x} + \vec{y}\|$ を求めます。 (3) $\|\vec{x}\| = 1$, $\|\vec{y}\| = 1$, $\|\vec{x} + \vec{y}\| = 2$ のとき、$\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle$ を求めます。

## 【問題2-1】

1. **問題の内容**

(1) ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ に対して、次の等式を証明します。

$\|p\vec{x} + q\vec{y}\|^2 = p^2\|\vec{x}\|^2 + 2pq\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + q^2\|\vec{y}\|^2$

(2) $\|\vec{x}\| = 2$, $\|\vec{y}\| = 1$, $\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = \frac{1}{2}$ のとき、$\|\vec{x} + \vec{y}\|$ を求めます。

(3) $\|\vec{x}\| = 1$, $\|\vec{y}\| = 1$, $\|\vec{x} + \vec{y}\| = 2$ のとき、$\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle$ を求めます。

2. **解き方の手順**

(1)

左辺を計算して右辺に一致することを示します。

$\|p\vec{x} + q\vec{y}\|^2 = \langle p\vec{x} + q\vec{y}, p\vec{x} + q\vec{y}\rangle$

$= \langle p\vec{x}, p\vec{x}\rangle + \langle p\vec{x}, q\vec{y}\rangle + \langle q\vec{y}, p\vec{x}\rangle + \langle q\vec{y}, q\vec{y}\rangle$

$= p^2\langle \vec{x}, \vec{x}\rangle + pq\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle + qp\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + q^2\langle \vec{y}, \vec{y}\rangle$

$= p^2\|\vec{x}\|^2 + pq\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle + pq\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle + q^2\|\vec{y}\|^2$

$= p^2\|\vec{x}\|^2 + 2pq\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle + q^2\|\vec{y}\|^2$

(2)

$\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + 2\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + \|\vec{y}\|^2$

$= 2^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$

よって、$\|\vec{x} + \vec{y}\| = \sqrt{6}$

(3)

$\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + 2\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + \|\vec{y}\|^2$

$2^2 = 1^2 + 2\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + 1^2$

$4 = 1 + 2\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle + 1$

$2\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = 2$

$\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = 1$

3. **最終的な答え**

(1) 証明完了

(2) $\|\vec{x} + \vec{y}\| = \sqrt{6}$

(3) $\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = 1$

## 【問題2-2】

1. **問題の内容**

(1) 図示されたベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、内積 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ を求めます。(i), (ii)の場合。

(2) $A(1, 1)$, $B(2, -1)$, $C(-1, 4)$ とするとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を隣り合う 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

(3) $\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が直交するとき、$x$ を求めます。

(4) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ のなす角を $\theta (0 \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求めます。

(5) ベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ に正射影して得られるベクトル $\vec{c}$ を求めます。

2. **解き方の手順**

(1)

(i) $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$.

$\|\vec{a}\| = 10$, $\|\vec{b}\| = 3$, $\theta = 90^\circ$.

よって、$\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = 10 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 10 \cdot 3 \cdot 0 = 0$.

(ii) $\|\vec{a}\| = 5$, $\|\vec{b}\| = 4$, $\theta = 90^\circ$.

よって、$\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta = 5 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ) = 5 \cdot 4 \cdot 0 = 0$.

(2)

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積 $S = | \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) | = |1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-2)| = |3 - 4| = |-1| = 1$.

(3)

2 つのベクトルが直交するとき、内積は 0 です。

$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} = -3x + 2 = 0$

$-3x = -2$

$x = \frac{2}{3}$

(4)

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4$

$\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$\|\vec{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

(5)

正射影ベクトル $\vec{c} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}$

$\vec{b} \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = -1 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) = -5 - 4 = -9$

$\|\vec{a}\|^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$

$\vec{c} = \frac{-9}{29}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{45}{29} \\ \frac{18}{29} \end{pmatrix}$

3. **最終的な答え**

(1) (i) $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = 0$ (ii) $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = 0$

(2) $S = 1$

(3) $x = \frac{2}{3}$

(4) $\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{65}}$

(5) $\vec{c} = \begin{pmatrix} -\frac{45}{29} \\ \frac{18}{29} \end{pmatrix}$