与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。それぞれの式は以下の通りです。 (1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ (5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$ (6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$

1. 問題の内容

与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。それぞれの式は以下の通りです。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

(5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$

(6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母にある無理数を解消するために、分母と分子に適切な数を掛けます。分母が $a + b$ の形であれば、$a - b$ を掛け、分母が $a - b$ の形であれば、$a + b$ を掛けます。これは、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の公式を利用して、分母の根号を消すためです。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3}{\sqrt{7}-1} \times \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{5-1} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{7}+1}{2}$

(6) $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$