関数 $y = \sqrt{5x^2 + 4x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{5x^2 + 4x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (5x^2 + 4x)^{1/2}$ と書き換える。

次に、合成関数の微分法（チェインルール）を用いて微分する。

チェインルールは、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ である。

ここで、$u = 5x^2 + 4x$ とすると、$y = u^{1/2}$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 10x + 4$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (10x + 4)$

$u$ に $5x^2 + 4x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{10x + 4}{2\sqrt{5x^2 + 4x}} = \frac{5x + 2}{\sqrt{5x^2 + 4x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{5x + 2}{\sqrt{5x^2 + 4x}}$