複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たす。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある (C) $\triangle z_1z_2z_3$ は正三角形 (1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たす。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある

(C) $\triangle z_1z_2z_3$ は正三角形

(1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

条件(A)より、$z_1 = |z_1|e^{i(\theta + \frac{2}{3}\pi)}, z_2 = |z_2|e^{i\theta}$ と表せる。

$\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ であるから、

$\alpha z_1 = e^{i\frac{\pi}{3}}|z_1|e^{i(\theta + \frac{2}{3}\pi)} = |z_1|e^{i(\theta + \pi)} = -|z_1|e^{i\theta}$

$\alpha z_2 = e^{i\frac{\pi}{3}}|z_2|e^{i\theta} = |z_2|e^{i(\theta + \frac{\pi}{3})}$

$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$ より、

$-|z_1|e^{i\theta} = p|z_1|e^{i(\theta + \frac{2}{3}\pi)} + q|z_2|e^{i\theta}$

$-|z_1| = p|z_1|e^{i\frac{2}{3}\pi} + q|z_2|$

$-|z_1| = p|z_1|(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi) + q|z_2|$

$-|z_1| = p|z_1|(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + q|z_2|$

虚部が0であることから、$p|z_1|\frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ よって $p=0$

したがって、$-|z_1| = q|z_2|$ より $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ より、

$|z_2|e^{i(\theta + \frac{\pi}{3})} = r|z_1|e^{i(\theta + \frac{2}{3}\pi)} + s|z_2|e^{i\theta}$

$|z_2|e^{i\frac{\pi}{3}} = r|z_1|e^{i\frac{2}{3}\pi} + s|z_2|$

$|z_2|(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = r|z_1|(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi) + s|z_2|$

$|z_2|(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = r|z_1|(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + s|z_2|$

$\frac{1}{2}|z_2| = -\frac{1}{2}r|z_1| + s|z_2|$

$\frac{\sqrt{3}}{2}|z_2| = \frac{\sqrt{3}}{2}r|z_1|$ より $r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$\frac{1}{2}|z_2| = -\frac{1}{2}\frac{|z_2|}{|z_1|}|z_1| + s|z_2|$

$\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + s$ より $s = 1$

(2)

$z_3$は$z_1$と$z_2$を結ぶ直線に関して原点と反対側にあるので、$z_3 = az_1+bz_2$ で表せる。また、$z_1$, $z_2$, $z_3$ は正三角形の頂点であるから、

$z_3 = z_1 + \alpha(z_2-z_1) = z_1 + (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})(z_2-z_1) = z_1 + (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(z_2-z_1)$

$z_3 = \frac{1}{2}z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}iz_1 + \frac{1}{2}z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2}iz_2 - \frac{1}{2}z_1 - i\frac{\sqrt{3}}{2}z_1$

または、$z_3 = z_2 + \alpha(z_1-z_2)$で表せる。条件より$z_3$は$z_1$,$z_2$を結ぶ直線に関して0と反対側なので、

$|z_1|=|z_2|$であれば$a,b$が定まるが、そうでないので、正三角形を構成する条件を考慮する。条件(B)より、$z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を結ぶ直線に関して原点と反対側にある。つまり、$z_1, z_2, z_3$ からなる正三角形は、原点を内部に含まない。

最終的な答え

(1)

$p = 0$

$q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$s = 1$

(2)

$a$と$b$は一意に定まらない。 $|z_1|$と$|z_2|$の値によって異なり、正三角形の位置関係によって場合分けが必要となる。しかし、問題文からは一意に定めることができない。