座標平面上に原点O、点A(6, 6)、点B(0, 6)、点C(0, -2)を通る円Kがある。 (1) 円Kの中心の座標と半径を求める。 (2) 円K上の点Pが $y<x$ の部分を動くとき、三角形OAPの面積が6となる点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に原点O、点A(6, 6)、点B(0, 6)、点C(0, -2)を通る円Kがある。

(1) 円Kの中心の座標と半径を求める。

(2) 円K上の点Pが $y<x$ の部分を動くとき、三角形OAPの面積が6となる点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの中心の座標を(a, b)、半径をrとする。円の方程式は

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

点A(6, 6), B(0, 6), C(0, -2)を通るので、

$(6-a)^2 + (6-b)^2 = r^2$ ...(1)

$(0-a)^2 + (6-b)^2 = r^2$ ...(2)

$(0-a)^2 + (-2-b)^2 = r^2$ ...(3)

(1)と(2)より

$(6-a)^2 + (6-b)^2 = a^2 + (6-b)^2$

$(6-a)^2 = a^2$

$36 - 12a + a^2 = a^2$

$12a = 36$

$a = 3$

(2)と(3)より

$a^2 + (6-b)^2 = a^2 + (-2-b)^2$

$(6-b)^2 = (-2-b)^2$

$36 - 12b + b^2 = 4 + 4b + b^2$

$32 = 16b$

$b = 2$

(2)に $a=3, b=2$ を代入して

$r^2 = 3^2 + (6-2)^2 = 9 + 16 = 25$

$r = 5$

よって、円Kの中心の座標は(3, 2)、半径は5である。

(2) 点Pの座標を(x, y)とする。

三角形OAPの面積は6なので、

$\frac{1}{2} |6y - 6x| = 6$

$|y - x| = 2$

$y - x = 2$ または $y - x = -2$

よって、$y = x + 2$ または $y = x - 2$

点Pは円K上にあるので、円の方程式を満たす。

$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$

$y = x + 2$ のとき、

$(x-3)^2 + (x+2-2)^2 = 25$

$(x-3)^2 + x^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 = 25$

$2x^2 - 6x - 16 = 0$

$x^2 - 3x - 8 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$

$y = x + 2 = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

点Pは $y < x$ の部分を動くので、$y < x$ を満たすものを探す。

$x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \approx 4.7$ のとき、$y = \frac{7 + \sqrt{41}}{2} \approx 6.7$ なので $y>x$。不適。

$x = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} \approx -1.7$ のとき、$y = \frac{7 - \sqrt{41}}{2} \approx 0.3$ なので $y>x$。不適。

$y = x - 2$ のとき、

$(x-3)^2 + (x-2-2)^2 = 25$

$(x-3)^2 + (x-4)^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 8x + 16 = 25$

$2x^2 - 14x = 0$

$2x(x-7) = 0$

$x = 0$ または $x = 7$

$x = 0$ のとき、$y = -2$。これは点C(0, -2)。$y<x$ を満たす。

$x = 7$ のとき、$y = 5$。これは$y<x$を満たす。

よって、点Pの座標は(0, -2)または(7, 5)。

3. 最終的な答え

(1) 中心：(3, 2)、半径：5

(2) (0, -2), (7, 5)