四角形ABCDがひし形といえるための条件を、選択肢の中から選ぶ問題です。ただし、対角線ACとBDの交点をOとします。

1. 問題の内容

四角形ABCDがひし形といえるための条件を、選択肢の中から選ぶ問題です。ただし、対角線ACとBDの交点をOとします。

2. 解き方の手順

ひし形の定義と性質を理解している必要があります。

ひし形の定義は「4つの辺の長さがすべて等しい四角形」です。

ひし形の性質は

* 向かい合う角の大きさが等しい。

* 対角線が互いに垂直に交わる。

* 対角線がそれぞれの中点で交わる。

選択肢を一つずつ確認します。

* 1: $AB = CD$, $AD // BC$, $AO = DO$, $BO = CO$。これは平行四辺形の性質と対角線が互いの中点で交わることを表していますが、ひし形であるとは限りません。

* 2: $AO = BO$, $CO = DO$, $AB = CD$。これは対角線が互いの中点で交わるとは言えません。また、ひし形であるとは限りません。

* 3: $AB = BC$, $BC = CD$。これより、$AB=BC=CD$ であることがわかります。四角形ABCDがこの条件を満たすとき、$DA=AB=BC=CD$となればひし形であるといえます。

* 4: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$, $AC \perp BD$。対角線が垂直に交わるのでひし形と言えます。

* 5: $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$, $AC \perp BD$。対角線が垂直に交わるのでひし形と言えます。

* 6: わからない。

選択肢3について、$AB=BC=CD$だけではひし形であるとは限りません。例えば、$AB=BC=CD$かつ$\angle ABC = 60^{\circ}$ならば、正三角形が3つ繋がった形になりひし形にはなりません。

選択肢4について、対角線が垂直に交わる四角形は凧形ですが、向かい合う角が等しいという条件が加わることでひし形になります。

選択肢5について、$\angle A + \angle B = 180^\circ$かつ$\angle B + \angle D = 180^\circ$から、$AD // BC$であると言えます。$\angle B + \angle D = 180^\circ$より$\angle A = \angle C$,$\angle B = \angle D$である必要があります。

したがって、対角線が垂直に交わる平行四辺形なので、ひし形であるといえます。

したがって、ひし形といえるものは4と5です。

3. 最終的な答え

4, 5