円と直線の位置関係（異なる2点で交わる、接する、共有点をもたない）を調べ、共有点がある場合はその座標を求める問題です。ここでは、問題番号(1)と(3)を解きます。 (1) 円: $x^2 + y^2 = 1$, 直線: $x - y = 1$ (3) 円: $x^2 + y^2 = 2$, 直線: $2x + 3y = 6$

1. 問題の内容

円と直線の位置関係（異なる2点で交わる、接する、共有点をもたない）を調べ、共有点がある場合はその座標を求める問題です。ここでは、問題番号(1)と(3)を解きます。

(1) 円: $x^2 + y^2 = 1$, 直線: $x - y = 1$

(3) 円: $x^2 + y^2 = 2$, 直線: $2x + 3y = 6$

2. 解き方の手順

(1) 円: $x^2 + y^2 = 1$, 直線: $x - y = ＝1$ の場合

まず、直線の方程式から $x$ を $y$ で表します。

$x = y + 1$

これを円の方程式に代入します。

$(y + 1)^2 + y^2 = 1$

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 1$

$2y^2 + 2y = 0$

$2y(y + 1) = 0$

したがって、$y = 0$ または $y = -1$ です。

$y = 0$ のとき、$x = 0 + 1 = 1$

$y = -1$ のとき、$x = -1 + 1 = 0$

したがって、共有点は$(1, 0)$と$(0, -1)$の2点です。

これは円と直線が異なる2点で交わる場合です。

(3) 円: $x^2 + y^2 = 2$, 直線: $2x + 3y = 6$ の場合

まず、直線の方程式から $x$ を $y$ で表します。

$2x = 6 - 3y$

$x = 3 - \frac{3}{2}y$

これを円の方程式に代入します。

$(3 - \frac{3}{2}y)^2 + y^2 = 2$

$9 - 9y + \frac{9}{4}y^2 + y^2 = 2$

$\frac{13}{4}y^2 - 9y + 7 = 0$

$13y^2 - 36y + 28 = 0$

この2次方程式の判別式$D$を計算します。

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 28 = 1296 - 1456 = -160$

判別式$D < 0$なので、この2次方程式は実数解を持ちません。

したがって、円と直線は共有点を持ちません。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2点で交わる。共有点の座標は$(1, 0)$と$(0, -1)$。

(3) 共有点を持たない。