座標平面上に原点Oと3点A(6, 6), B(0, 6), C(0, -2)を通る円Kがある。 (1) 円Kの中心の座標と半径を求める。 (2) 点Pは、円Kの $y < x$ の部分を動く。三角形OAPの面積が6であるとき、点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に原点Oと3点A(6, 6), B(0, 6), C(0, -2)を通る円Kがある。

(1) 円Kの中心の座標と半径を求める。

(2) 点Pは、円Kの $y < x$ の部分を動く。三角形OAPの面積が6であるとき、点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの中心の座標と半径を求める。

円の方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ とおく。

円Kが点O(0, 0)を通るので、

$a^2 + b^2 = r^2$ ...(1)

円Kが点A(6, 6)を通るので、

$(6-a)^2 + (6-b)^2 = r^2$ ...(2)

円Kが点B(0, 6)を通るので、

$a^2 + (6-b)^2 = r^2$ ...(3)

円Kが点C(0, -2)を通るので、

$a^2 + (-2-b)^2 = r^2$ ...(4)

(1)と(3)より

$a^2 + b^2 = a^2 + (6-b)^2$

$b^2 = 36 - 12b + b^2$

$12b = 36$

$b = 3$

(1)と(4)より

$a^2 + b^2 = a^2 + (-2-b)^2$

$b^2 = (b+2)^2$

$b^2 = b^2 + 4b + 4$

$4b = -4$

$b = -1$

矛盾が発生したので、点Oが円周上にあるという条件は使わずに解く。

(2)と(3)より

$(6-a)^2 + (6-b)^2 = a^2 + (6-b)^2$

$(6-a)^2 = a^2$

$36 - 12a + a^2 = a^2$

$12a = 36$

$a = 3$

(3)と(4)より

$a^2 + (6-b)^2 = a^2 + (-2-b)^2$

$(6-b)^2 = (-2-b)^2$

$36 - 12b + b^2 = 4 + 4b + b^2$

$32 = 16b$

$b = 2$

中心(3, 2)。半径は

$r^2 = 3^2 + (6-2)^2 = 9 + 16 = 25$

$r = 5$

円Kの方程式は $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$

(2) 点Pは、円Kの $y < x$ の部分を動く。三角形OAPの面積が6であるとき、点Pの座標を求める。

三角形OAPの面積は $\frac{1}{2} |6y - 6x| = 3 |y-x| = 6$

$|y-x| = 2$

$y - x = 2$ または $y - x = -2$

$y = x + 2$ または $y = x - 2$

$y = x + 2$の場合

$(x-3)^2 + (x+2-2)^2 = 25$

$(x-3)^2 + x^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 = 25$

$2x^2 - 6x - 16 = 0$

$x^2 - 3x - 8 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$

$y = x+2 = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2} + 2 = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$のとき、$y = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$であり、$y > x$

$x = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}$のとき、$y = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$であり、$y < x$

$y = x - 2$の場合

$(x-3)^2 + (x-2-2)^2 = 25$

$(x-3)^2 + (x-4)^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 8x + 16 = 25$

$2x^2 - 14x = 0$

$2x(x - 7) = 0$

$x = 0$ または $x = 7$

$x = 0$のとき、$y = -2$。

$x = 7$のとき、$y = 5$。$y < x$

点Pの座標は $(\frac{3 - \sqrt{41}}{2}, \frac{7 - \sqrt{41}}{2})$, (7, 5), (0, -2)。

3. 最終的な答え

(1) 円Kの中心の座標は(3, 2)。半径は5。

(2) 点Pの座標は $(\frac{3 - \sqrt{41}}{2}, \frac{7 - \sqrt{41}}{2})$, (7, 5), (0, -2)。