複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が条件(A), (B), (C)を満たすとき、以下の問いに答えます。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) $z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を通る直線に関して、原点0と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表します。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表します。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が条件(A), (B), (C)を満たすとき、以下の問いに答えます。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) $z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を通る直線に関して、原点0と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表します。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

条件(A)より、$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ なので、$z_1 = |z_1|e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)}$、$z_2 = |z_2|e^{i\arg z_2}$ と表せます。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})z_1 = pz_1 + qz_2$ を考えます。

$pz_1 + qz_2 = p |z_1| e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)} + q |z_2| e^{i\arg z_2}$

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})|z_1| e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)} = |z_1| e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)} = |z_1|e^{i(\arg z_2 + \pi)} = -|z_1|e^{i\arg z_2}$

よって、$-|z_1|e^{i \arg z_2} = p |z_1| e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)} + q |z_2| e^{i\arg z_2}$

$-|z_1| = p|z_1| e^{i \frac{2}{3} \pi} + q |z_2|$

$-|z_1| = p |z_1| (\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi) + q |z_2|$

$-|z_1| = p |z_1| (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + q |z_2|$

実部と虚部を比較すると、

$-|z_1| = -\frac{1}{2} p |z_1| + q|z_2|$

$0 = \frac{\sqrt{3}}{2} p |z_1|$

したがって、$p=0$、$-|z_1| = q|z_2|$、 よって $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$\alpha z_1 = 0\cdot z_1 -\frac{|z_1|}{|z_2|} z_2$

次に、$\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ を考えます。

$\alpha z_2 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) z_2 = rz_1 + sz_2$

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})|z_2| e^{i\arg z_2} = r |z_1| e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)} + s |z_2| e^{i\arg z_2}$

$\frac{1}{2}|z_2| + i\frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| = r |z_1| (\cos(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi) + i \sin(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)) + s |z_2|$

$\frac{1}{2}|z_2| + i\frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| = r |z_1| (\cos(\frac{2}{3}\pi) + i \sin(\frac{2}{3}\pi))e^{i\arg z_2} + s |z_2|$

$\frac{1}{2}|z_2| + i\frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| = r |z_1| (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) + s |z_2|$

実部と虚部を比較すると、

$\frac{1}{2} |z_2| = -\frac{1}{2}r|z_1| + s |z_2|$

$\frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| = \frac{\sqrt{3}}{2}r|z_1|$

$r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$\frac{1}{2}|z_2| = -\frac{1}{2}\frac{|z_2|}{|z_1|}|z_1| + s |z_2|$

$\frac{1}{2}|z_2| = -\frac{1}{2}|z_2| + s |z_2|$

$s|z_2| = |z_2|$

$s=1$

よって、$\alpha z_2 = \frac{|z_2|}{|z_1|}z_1 + z_2$

(2)

$z_3$は$z_1, z_2$を結ぶ直線上に関して原点と反対側にあるので、正三角形であることから、

$z_3$は$z_1$から$z_2$の方向に$z_1$と$z_2$間の距離の$\sqrt{3}$倍の方向にあると考えることが難しい。そのため、条件(C)より、

$(z_2-z_1)\alpha = z_3-z_1$ または $(z_2-z_1)/\alpha = z_3-z_1$のどちらかが成り立つ。

$(z_2-z_1)(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=z_3-z_1$

$(z_2-z_1)(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=z_3-z_1$

$z_3 = (\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})z_2+(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})z_1$ または $z_3 = (\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})z_2+(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})z_1$

これは条件(B)を満たさないので使えない。

$z_3 = az_1 + bz_2$ と表せるような実数 $a, b$ を求める。

$z_3$は$z_1, z_2$を結ぶ直線に関して原点と反対側にあるので、$z_1,z_2,z_3$の相対的な位置関係は定まらない。

解なし

3. 最終的な答え

(1) $p = 0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s = 1$

(2) 解なし