任意の正方行列 $A$ に対して、$T = A + {}^tA$ は対称行列、$K = A - {}^tA$ は交代行列であることを示し、さらに $A = \frac{1}{2}(T + K)$ となることを証明する。

1. 問題の内容

任意の正方行列 $A$ に対して、$T = A + {}^tA$ は対称行列、$K = A - {}^tA$ は交代行列であることを示し、さらに $A = \frac{1}{2}(T + K)$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $T = A + {}^tA$ が対称行列であることの証明:

行列 $T$ の転置行列 ${}^tT$ を計算する。

${}^tT = {}^t(A + {}^tA) = {}^tA + {}^{tt}A = {}^tA + A = A + {}^tA = T$

したがって、${}^tT = T$ であるから、$T$ は対称行列である。

(2) $K = A - {}^tA$ が交代行列であることの証明:

行列 $K$ の転置行列 ${}^tK$ を計算する。

${}^tK = {}^t(A - {}^tA) = {}^tA - {}^{tt}A = {}^tA - A = -(A - {}^tA) = -K$

したがって、${}^tK = -K$ であるから、$K$ は交代行列である。

(3) $A = \frac{1}{2}(T + K)$ であることの証明:

$T$ と $K$ の定義を用いて、$\frac{1}{2}(T + K)$ を計算する。

$\frac{1}{2}(T + K) = \frac{1}{2}((A + {}^tA) + (A - {}^tA)) = \frac{1}{2}(2A) = A$

3. 最終的な答え

任意の正方行列 $A$ に対して、$T = A + {}^tA$ は対称行列、$K = A - {}^tA$ は交代行列であり、$A = \frac{1}{2}(T + K)$ が成り立つ。