複素数平面上に原点 $O$ と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点 $O$ と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 このとき、次の問いに答えなさい。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点 $O$ と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点 $O$ と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、条件(A)より $\arg \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\pi$ である。したがって、ある正の実数 $k > 0$ を用いて

$z_1 = k z_2 (\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi) = kz_2(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

と表せる。ここで、$\alpha = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ とすると、

$z_1 = k z_2 \alpha^{-1}$ が成り立つ。

次に、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$ に上の式を代入すると、

$\alpha z_1 = \alpha k z_2 \alpha^{-1} = k z_2 = p k z_2 \alpha^{-1} + q z_2$

したがって、

$k = p k \alpha^{-1} + q = p k (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + q$

実部と虚部を比較すると、

$k = -\frac{1}{2}pk + q$

$0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}pk$

$k>0$ より、$p = 0, q = k$

次に、$\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ に$z_1 = k z_2 \alpha^{-1}$を代入すると

$\alpha z_2 = rkz_2 \alpha^{-1} + s z_2$

$\alpha = rk \alpha^{-1} + s$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = rk (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + s$

実部と虚部を比較すると、

$\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}rk + s$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}rk$

したがって、 $rk = -1$。ここで$k = \frac{|z_1|}{|z_2|}$なので、$r = -\frac{1}{k} = -\frac{|z_2|}{|z_1|}$。

また、$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}rk = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

(2) 問題文に(B)の条件があるので、(2)は画像だけでは解けません。

3. 最終的な答え

(1) $p = 0, q = \frac{|z_1|}{|z_2|}, r = -\frac{|z_2|}{|z_1|}, s = 0$

(2) 解けない