関数 $-f(x) = e^{\frac{t}{2}} \cdot \sin(2t)$ を積分せよ。つまり、$\int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $-f(x) = e^{\frac{t}{2}} \cdot \sin(2t)$ を積分せよ。つまり、$\int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いる。

$I = \int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ とする。

$u = \sin(2t)$, $dv = e^{\frac{t}{2}} dt$ とすると、

$du = 2\cos(2t) dt$, $v = 2e^{\frac{t}{2}}$ となる。

よって、

$I = 2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - \int 2e^{\frac{t}{2}} \cdot 2\cos(2t) dt = 2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 4 \int e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$

次に、$\int e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$ を部分積分で求める。

$u = \cos(2t)$, $dv = e^{\frac{t}{2}} dt$ とすると、

$du = -2\sin(2t) dt$, $v = 2e^{\frac{t}{2}}$ となる。

よって、$\int e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) dt = 2e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) - \int 2e^{\frac{t}{2}} (-2\sin(2t)) dt = 2e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) + 4 \int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

これを $I$ の式に代入する。

$I = 2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 4(2e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) + 4 \int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt) = 2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{\frac{t}{2}} \cos(2t) - 16 I$

$17I = 2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$I = \frac{2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{\frac{t}{2}} \cos(2t)}{17} + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = \frac{2e^{\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{\frac{t}{2}} \cos(2t)}{17} + C$