$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}$ の極限値を求め、それを $c + o(1)$ の形で表すときの $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}$ の極限値を求め、それを $c + o(1)$ の形で表すときの $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ の対数をとります。

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とすると、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+x)$

ここで、$\ln(1+x)$ を $x=0$ の周りでTaylor展開します。

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

したがって、

$\ln y = \frac{1}{x} (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots$

$y = e^{\ln y}$ なので、$y = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ を利用して、$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots}$ を展開します。

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots) + \frac{1}{2} (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots)^2 + \cdots$

$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{1}{2} (\frac{x^2}{4}) + O(x^3) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + O(x^3)$

したがって、$y = (1+x)^{\frac{1}{x}} = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + O(x^3))$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + O(x^3)) - e = e (-\frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + O(x^3))$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \frac{e (-\frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + O(x^3))}{x} = e (-\frac{1}{2} + \frac{11}{24} x + O(x^2))$

$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} \to -\frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

$-e/2$