$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \square + o(1)$ を満たす$\square$を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \square + o(1)$ を満たす$\square$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ の $x \to 0$ での挙動を調べます。

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+x)$ となります。

ここで、$\ln(1+x)$ のテイラー展開は、$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ です。

したがって、

$\ln y = \frac{1}{x} (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots$ となります。

$y = e^{\ln y}$ であるので、$y = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots}$ となります。

$e^x$ のテイラー展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ なので、

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots) + \frac{1}{2}(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots)^2 + \cdots = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2)$ となります。

したがって、$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e (1 - \frac{x}{2} + O(x^2)) = e - \frac{ex}{2} + O(x^2)$ となります。

元の式に代入すると、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \frac{e - \frac{ex}{2} + O(x^2) - e}{x} = \frac{-\frac{ex}{2} + O(x^2)}{x} = -\frac{e}{2} + O(x)$ となります。

$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{e}{2}$