6つの面を持つサイコロを2つ振ったとき、出た目の積が6の倍数になる組み合わせの数を求める。

1. 問題の内容

6つの面を持つサイコロを2つ振ったとき、出た目の積が6の倍数になる組み合わせの数を求める。

2. 解き方の手順

2つのサイコロの出目をそれぞれ$a$と$b$とする。

$a$と$b$はそれぞれ1から6の整数である。

積 $a \times b$ が6の倍数になる条件を考える。$a \times b$ が6の倍数であるためには、$a \times b$ が2の倍数かつ3の倍数である必要がある。

すべての組み合わせは$6 \times 6 = 36$通り。

6の倍数にならない組み合わせを数え、全体から引く方が簡単。

積が6の倍数にならないのは、以下のケース。

* $a$と$b$のどちらも3の倍数でない場合。

* $a \in \{1, 2, 4, 5\}, b \in \{1, 2, 4, 5\}$: $4 \times 4 = 16$通り

* $a$または$b$のどちらかが3の倍数であるが、どちらも2の倍数でない場合。

* $a \in \{3, 6\}, b \in \{1, 3, 5\}$: $2 \times 3 = 6$通り

* $a \in \{1, 3, 5\}, b \in \{3, 6\}$: $3 \times 2 = 6$通り

ただし、$a$と$b$の両方が3の倍数でかつ両方とも2の倍数でないケース(例えば(3,3))は重複して数えているので除外する必要がある。

そのようなケースはないので、重複して数えるケースはない。

$a \times b$が6の倍数にならない組み合わせの数は $16 + 6 + 6 = 28$。

したがって、$a \times b$ が6の倍数になる組み合わせの数は $36 - 28 = 8$通り。

別解:

6の倍数になる条件は, 積が6で割り切れること。

積が6の倍数になる組み合わせを直接数える。

(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

(6,1),(3,2)のように順番を入れ替えた組み合わせも考える。

6を含む組み合わせ: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)の11通り

6を含まない組み合わせ: (2,3),(3,2),(3,4),(4,3)の4通り

したがって全部で15通り。

しかし、6,1と1,6のように重複して数えている組み合わせもあるので、この方法だと正しく数えられない。

すべての組み合わせから、6の倍数にならない組み合わせを引く方法が正しい。

3. 最終的な答え

8通り