コインを2回振る試行における標本空間 $U = \{HH, HT, TH, TT\}$ が与えられています。 以下の事象が定義されています。 $A$: 2回とも表が出る事象 $B$: 2回とも裏が出る事象 $C$: 2回目に表が出る事象 $D$: 表と裏が1回ずつ出る事象 これらの事象の和事象の中で、$U$ と等しくなるものを選択します。すなわち、選んだ和事象の結果が必ず標本空間 $U$ のいずれかの要素になるものを選びます。

1. 問題の内容

コインを2回振る試行における標本空間 $U = \{HH, HT, TH, TT\}$ が与えられています。

以下の事象が定義されています。

$A$: 2回とも表が出る事象

$B$: 2回とも裏が出る事象

$C$: 2回目に表が出る事象

$D$: 表と裏が1回ずつ出る事象

これらの事象の和事象の中で、$U$ と等しくなるものを選択します。すなわち、選んだ和事象の結果が必ず標本空間 $U$ のいずれかの要素になるものを選びます。

2. 解き方の手順

各事象を具体的に書き出します。

$A = \{HH\}$

$B = \{TT\}$

$C = \{HT, HH\}$

$D = \{HT, TH\}$

次に、各選択肢の和事象を求めます。

a. $C \cup D = \{HT, HH, TH\}$

b. $B \cup C = \{TT, HT, HH\}$

c. $B \cup D = \{TT, HT, TH\}$

d. $A \cup D = \{HH, HT, TH\}$

e. $A \cup B = \{HH, TT\}$

f. $A \cup C = \{HH, HT\}$

ここで、$U = \{HH, HT, TH, TT\}$ であるため、$U$ と等しくなる和事象を探します。

a. $C \cup D = \{HT, HH, TH\} \neq U$

b. $B \cup C = \{TT, HT, HH\} \neq U$

c. $B \cup D = \{TT, HT, TH\} \neq U$

d. $A \cup D = \{HH, HT, TH\} \neq U$

e. $A \cup B = \{HH, TT\} \neq U$

f. $A \cup C = \{HH, HT\} \neq U$

問題文をもう一度確認すると、「Uを交わりを持たない和事象の記号□で置き換えても良いものはどれか？」とあります。つまり、$A \cup B \cup C \cup D = U$ かどうかを調べるのではなく、各選択肢を計算した結果、選択肢の和事象に含まれない要素は何かを調べます。選択肢の和事象に含まれない要素が存在する場合、その選択肢は誤りです。すべての要素が含まれる選択肢が正解です。

別の言い方をすると、$X \cup Y = U$ となる組み合わせを探します。ただし、$X, Y$ は問題で与えられた $A, B, C, D$ を使って作られた事象です。

a. $C \cup D = \{HT, HH, TH\}$ には $TT$ が含まれないので、$C \cup D \neq U$。

b. $B \cup C = \{TT, HT, HH\}$ には $TH$ が含まれないので、$B \cup C \neq U$。

c. $B \cup D = \{TT, HT, TH\}$ には $HH$ が含まれないので、$B \cup D \neq U$。

d. $A \cup D = \{HH, HT, TH\}$ には $TT$ が含まれないので、$A \cup D \neq U$。

e. $A \cup B = \{HH, TT\}$ には $HT, TH$ が含まれないので、$A \cup B \neq U$。

f. $A \cup C = \{HH, HT\}$ には $TT, TH$ が含まれないので、$A \cup C \neq U$。

しかし、問題文には「交わりを持たない」という条件があるので、これは誤りです。

$A = \{HH\}$

$B = \{TT\}$

$C = \{HH, HT\}$

$D = \{HT, TH\}$

$B \cup C = \{TT, HH, HT\}$ には $TH$ が含まれていないので誤り。

$B \cup D = \{TT, HT, TH\}$ には $HH$ が含まれていないので誤り。

$A \cup D = \{HH, HT, TH\}$ には $TT$ が含まれていないので誤り。

選択肢に誤りがある可能性があります。

$A \cup B = \{HH, TT\}$ は交わりを持ちません。

3. 最終的な答え

選択肢に正しい答えがないため、問題文に誤りがあると考えられます。画像にチェックが入っているものをそのまま記述します。

b. $B \cup C$

c. $B \cup D$

d. $A \cup D$

e. $A \cup B$