10本のくじがあり、その内訳は1等が1本、2等が3本、残りがはずれくじ（6本）です。この中から同時に3本引くとき、以下の確率を求めます。 (ア) 当たりくじを少なくとも1本引く確率 (イ) 1等、2等、はずれくじをそれぞれ1本ずつ引く確率 (ウ) 引いた3本の中に2等が2本以上ある確率

1. 問題の内容

10本のくじがあり、その内訳は1等が1本、2等が3本、残りがはずれくじ（6本）です。この中から同時に3本引くとき、以下の確率を求めます。

(ア) 当たりくじを少なくとも1本引く確率

(イ) 1等、2等、はずれくじをそれぞれ1本ずつ引く確率

(ウ) 引いた3本の中に2等が2本以上ある確率

2. 解き方の手順

(ア) 当たりくじを少なくとも1本引く確率

余事象を考えます。つまり、3本ともはずれくじを引く確率を求め、それを1から引きます。

3本ともはずれくじを引く確率は、はずれくじ6本から3本を選ぶ組み合わせを、10本から3本を選ぶ組み合わせで割ったものです。

$P(\text{3本ともはずれ}) = \frac{{}_6C_3}{{}_{10}C_3} = \frac{\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$

したがって、当たりくじを少なくとも1本引く確率は、

$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

(イ) 1等、2等、はずれくじをそれぞれ1本ずつ引く確率

1等を1本、2等を1本、はずれを1本引く組み合わせ数を求めます。

1等の引き方は1通り、2等の引き方は3通り、はずれの引き方は6通りです。したがって、1等、2等、はずれをそれぞれ1本ずつ引く組み合わせ数は $1 \times 3 \times 6 = 18$ 通りです。

10本から3本引く全体の組み合わせ数は ${}_{10}C_3 = 120$ 通りです。

したがって、求める確率は

$\frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(ウ) 引いた3本の中に2等が2本以上ある確率

2等が2本の場合と3本の場合を考えます。

(i) 2等が2本の場合：2等から2本、残り1本は2等以外（1等またははずれ）から選びます。

2等の選び方は ${}_3C_2 = 3$ 通りです。

残り1本が1等の場合は1通り、はずれの場合は6通りなので、計7通りです。

したがって、2等が2本の場合の組み合わせ数は $3 \times 7 = 21$ 通りです。

(ii) 2等が3本の場合：2等から3本すべてを選ぶので、${}_3C_3 = 1$ 通りです。

したがって、2等が2本以上ある組み合わせ数は $21 + 1 = 22$ 通りです。

10本から3本引く全体の組み合わせ数は ${}_{10}C_3 = 120$ 通りです。

したがって、求める確率は

$\frac{22}{120} = \frac{11}{60}$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{5}{6}$

(イ) $\frac{3}{20}$

(ウ) $\frac{11}{60}$