定義域が $-3 \le x \le 2$ である2つの関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) と $y = 3x + b$ の値域が一致するような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定義域が $-3 \le x \le 2$ である2つの関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) と $y = 3x + b$ の値域が一致するような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 3x + b$ の値域を求めます。$x$ の定義域は $-3 \le x \le 2$ なので、$y$ の範囲は $3 \times (-3) + b \le y \le 3 \times 2 + b$ となります。

したがって、$-9 + b \le y \le 6 + b$ です。

次に、$y = ax^2$ の値域を考えます。$a$ の符号によって場合分けします。

(i) $a > 0$ のとき

$x = 0$ で最小値 $0$ をとり、$x = -3$ で最大値 $9a$ をとります。

したがって、$0 \le y \le 9a$ です。

(ii) $a < 0$ のとき

$x = 0$ で最大値 $0$ をとり、$x = -3$ で最小値 $9a$ をとります。

したがって、$9a \le y \le 0$ です。

それぞれのケースで、$y$ の値域が一致するように $a$ と $b$ の値を決定します。

(i) $a > 0$ の場合

$-9 + b = 0$ かつ $6 + b = 9a$ となる必要があります。

$-9 + b = 0$ より、 $b = 9$ です。

$6 + b = 9a$ に $b = 9$ を代入すると、$6 + 9 = 9a$ より $15 = 9a$ なので、$a = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ となります。

このとき、$a = \frac{5}{3} > 0$ を満たします。

(ii) $a < 0$ の場合

$-9 + b = 0$ と $6 + b = 9a$ は同じで、$a > 0$ の時と$-9 + b = 9a$ かつ $6 + b = 0$となる必要があります。

$6 + b = 0$ より、$b = -6$ です。

$-9 + b = 9a$ に $b = -6$ を代入すると、$-9 - 6 = 9a$ より $-15 = 9a$ なので、$a = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$ となります。

このとき、$a = -\frac{5}{3} < 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{3}, b = 9$ または $a = -\frac{5}{3}, b = -6$