$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $a+6b+b^2+9$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $a+6b+b^2+9$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{10}-3} = \frac{1}{\sqrt{10}-3} \cdot \frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{10}+3} = \frac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3$

$\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より、$3 < \sqrt{10} < 4$ であるから、

$6 < \sqrt{10}+3 < 7$ となる。

したがって、整数の部分 $a$ は $6$ である。

小数部分 $b$ は $\sqrt{10}+3 - 6 = \sqrt{10}-3$ である。

(2)

$a+6b+b^2+9$ に $a=6$、$b=\sqrt{10}-3$ を代入する。

$a+6b+b^2+9 = 6 + 6(\sqrt{10}-3) + (\sqrt{10}-3)^2 + 9$

$= 6 + 6\sqrt{10} - 18 + (10 - 6\sqrt{10} + 9) + 9$

$= 6 + 6\sqrt{10} - 18 + 19 - 6\sqrt{10} + 9$

$= 6 - 18 + 19 + 9$

$= 16$

3. 最終的な答え

(1) $a=6$, $b=\sqrt{10}-3$

(2) $a+6b+b^2+9 = 16$