$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を三角関数の置換を用いて求める。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を三角関数の置換を用いて求める。

2. 解き方の手順

$x = 3\sin\theta$ と置換する。このとき、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となる。

また、

$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$

となる。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{1}{3\cos\theta} 3\cos\theta d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

となる。

$x = 3\sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{x}{3}$ であるから、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ となる。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$