$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を多項式と真分数式の和に分解します。

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ を $x^2 + 3$ で割ると、商は $x + 2$、余りは $-1$ となります。

したがって、

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\frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} = x + 2 + \frac{-1}{x^2 + 3}

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よって、積分は

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\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx = \int \left( x + 2 - \frac{1}{x^2 + 3} \right) dx

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と書き換えられます。

それぞれの項を積分します。

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\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1

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\int 2 \, dx = 2x + C_2

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\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + C_3

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これらをまとめると、

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\int \left( x + 2 - \frac{1}{x^2 + 3} \right) dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + C

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3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + C$