複素数平面上の3点O(0), A(4-2i), B($\beta$)が与えられている。$\triangle OAB$が正三角形となるとき、$\beta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点O(0), A(4-2i), B($\beta$)が与えられている。$\triangle OAB$が正三角形となるとき、$\beta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\triangle OAB$が正三角形である条件は、$\frac{\beta}{4-2i}$が絶対値1で偏角$\pm \frac{\pi}{3}$の複素数となることです。

つまり、

$\frac{\beta}{4-2i} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i \sin{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\beta}{4-2i} = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\beta = (4-2i)(\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\beta = 2 \pm 2i\sqrt{3} - i \mp i^2 \sqrt{3}$

$\beta = 2 \pm 2i\sqrt{3} - i \pm \sqrt{3}$

$\beta = (2+\sqrt{3}) + i(-1+2\sqrt{3})$ または $\beta = (2-\sqrt{3}) + i(-1-2\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\beta = (2+\sqrt{3}) + (-1+2\sqrt{3})i$ または $\beta = (2-\sqrt{3}) + (-1-2\sqrt{3})i$