数列 3, 33, 333, 3333, 33333, ... の第 $k$ 項 $a_k$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 3, 33, 333, 3333, 33333, ... の第 $k$ 項 $a_k$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、第 $k$ 項 $a_k$ を求めます。数列の各項は $3, 33, 333, ...$ となっているので、これは $3$ が $k$ 個並んだ数です。これは、次のように表すことができます。

$a_k = 3 + 30 + 300 + ... + 3 \cdot 10^{k-1}$

これは初項 $3$、公比 $10$、項数 $k$ の等比数列の和であるため、

$a_k = \frac{3(10^k - 1)}{10 - 1} = \frac{3(10^k - 1)}{9} = \frac{1}{3}(10^k - 1)$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(10^k - 1) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) = \frac{1}{3} (\sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 10^k$ は初項 $10$、公比 $10$、項数 $n$ の等比数列の和であるため、

$\sum_{k=1}^{n} 10^k = \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{1}{3} (\frac{10(10^n - 1)}{9} - n) = \frac{1}{3} (\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9}) = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{27}$

3. 最終的な答え

$a_k = \frac{1}{3}(10^k - 1)$

$S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{27}$