複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ 全体がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には、次の6つの方程式について考えます。 (1) $|z+2i| = 3$ (2) $|z+3-2i| = 1$ (3) $|\overline{z} - i| = 1$ (4) $|z+1| = 2|z-2|$ (5) $3|z| = |z-8i|$ (6) $|z-i| = 2|z-1|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ 全体がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には、次の6つの方程式について考えます。

(1) $|z+2i| = 3$

(2) $|z+3-2i| = 1$

(3) $|\overline{z} - i| = 1$

(4) $|z+1| = 2|z-2|$

(5) $3|z| = |z-8i|$

(6) $|z-i| = 2|z-1|$

2. 解き方の手順

(1) $|z+2i| = 3$

これは、点 $-2i$ からの距離が3である点の集合なので、中心が $-2i$ で半径が3の円を表します。

(2) $|z+3-2i| = 1$

これは、点 $-3+2i$ からの距離が1である点の集合なので、中心が $-3+2i$ で半径が1の円を表します。

(3) $|\overline{z} - i| = 1$

複素共役の性質 $|w| = |\overline{w}|$ を利用すると、

$|\overline{z} - i| = |\overline{\overline{z} - i}| = |z + i| = 1$

これは、点 $-i$ からの距離が1である点の集合なので、中心が $-i$ で半径が1の円を表します。

(4) $|z+1| = 2|z-2|$

$z = x+yi$ とおくと、

$|x+yi+1| = 2|x+yi-2|$

$|(x+1) + yi| = 2|(x-2) + yi|$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$3x^2 - 18x + 3y^2 + 15 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 + 5 = 0$

$(x-3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x-3)^2 + y^2 = 4 = 2^2$

これは、中心が $3$ で半径が $2$ の円を表します。

(5) $3|z| = |z-8i|$

$z = x+yi$ とおくと、

$3|x+yi| = |x+yi-8i|$

$3\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-8)^2}$

両辺を2乗すると、

$9(x^2 + y^2) = x^2 + (y-8)^2$

$9x^2 + 9y^2 = x^2 + y^2 - 16y + 64$

$8x^2 + 8y^2 + 16y - 64 = 0$

$x^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$

$x^2 + (y+1)^2 - 1 - 8 = 0$

$x^2 + (y+1)^2 = 9 = 3^2$

これは、中心が $-i$ で半径が $3$ の円を表します。

(6) $|z-i| = 2|z-1|$

$z = x+yi$ とおくと、

$|x+yi-i| = 2|x+yi-1|$

$|x + (y-1)i| = 2|(x-1) + yi|$

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 + (y-1)^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$3x^2 - 8x + 3y^2 + 2y + 3 = 0$

$x^2 - \frac{8}{3}x + y^2 + \frac{2}{3}y + 1 = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} + (y + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + 1 = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y + \frac{1}{3})^2 = \frac{16}{9} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{8}{9}$

これは、中心が $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}i$ で半径が $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心が $-2i$ で半径が3の円

(2) 中心が $-3+2i$ で半径が1の円

(3) 中心が $-i$ で半径が1の円

(4) 中心が $3$ で半径が $2$ の円

(5) 中心が $-i$ で半径が $3$ の円

(6) 中心が $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}i$ で半径が $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円