$12^{60}$ は何桁の整数か、またその最高位の数と一の位の数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$12^{60}$ は何桁の整数か、またその最高位の数と一の位の数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

(1) 桁数を求める

$N = 12^{60}$ とおきます。

$N$ の常用対数を計算します。

$\log_{10}N = \log_{10}(12^{60}) = 60 \log_{10}12 = 60 \log_{10}(2^2 \cdot 3) = 60(2\log_{10}2 + \log_{10}3)$

$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10}N = 60(2(0.3010) + 0.4771) = 60(0.6020 + 0.4771) = 60(1.0791) = 64.746$

$\log_{10}N = 64.746$ であるから、$N = 10^{64.746} = 10^{64} \cdot 10^{0.746}$ となります。

したがって、$N$ は65桁の整数です。

(2) 最高位の数を求める

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$\log_{10}5 = 0.6990 < 0.746 < 0.7781 = \log_{10}6$ より、$5 < 10^{0.746} < 6$

よって、最高位の数は5です。

(3) 一の位の数を求める

$12^1$ の一の位は2

$12^2$ の一の位は4

$12^3$ の一の位は8

$12^4$ の一の位は6

$12^5$ の一の位は2

よって、一の位は2, 4, 8, 6の繰り返しになります。

$60 = 4 \cdot 15$ なので、$12^{60}$ の一の位は6です。

3. 最終的な答え

$12^{60}$は65桁の整数である。また、その最高位の数は5で、一の位の数は6である。