$12^{60}$ は何桁の整数か、またその最高位の数と一の位の数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

算数指数対数桁数最高位の数一の位の数
2025/5/17

1. 問題の内容

126012^{60} は何桁の整数か、またその最高位の数と一の位の数を求める問題です。ただし、log102=0.3010\log_{10}2 = 0.3010, log103=0.4771\log_{10}3 = 0.4771 とします。

2. 解き方の手順

(1) 桁数を求める
N=1260N = 12^{60} とおきます。
NN の常用対数を計算します。
log10N=log10(1260)=60log1012=60log10(223)=60(2log102+log103)\log_{10}N = \log_{10}(12^{60}) = 60 \log_{10}12 = 60 \log_{10}(2^2 \cdot 3) = 60(2\log_{10}2 + \log_{10}3)
log102=0.3010\log_{10}2 = 0.3010log103=0.4771\log_{10}3 = 0.4771 を代入すると、
log10N=60(2(0.3010)+0.4771)=60(0.6020+0.4771)=60(1.0791)=64.746\log_{10}N = 60(2(0.3010) + 0.4771) = 60(0.6020 + 0.4771) = 60(1.0791) = 64.746
log10N=64.746\log_{10}N = 64.746 であるから、N=1064.746=1064100.746N = 10^{64.746} = 10^{64} \cdot 10^{0.746} となります。
したがって、NN は65桁の整数です。
(2) 最高位の数を求める
log105=log10102=log1010log102=10.3010=0.6990\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990
log106=log10(23)=log102+log103=0.3010+0.4771=0.7781\log_{10}6 = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781
log105=0.6990<0.746<0.7781=log106\log_{10}5 = 0.6990 < 0.746 < 0.7781 = \log_{10}6 より、5<100.746<65 < 10^{0.746} < 6
よって、最高位の数は5です。
(3) 一の位の数を求める
12112^1 の一の位は2
12212^2 の一の位は4
12312^3 の一の位は8
12412^4 の一の位は6
12512^5 の一の位は2
よって、一の位は2, 4, 8, 6の繰り返しになります。
60=41560 = 4 \cdot 15 なので、126012^{60} の一の位は6です。

3. 最終的な答え

126012^{60}は65桁の整数である。また、その最高位の数は5で、一の位の数は6である。

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