与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$ (2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$

(2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$

まず、両辺を $x$ で微分します。積分の微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) = 2x + 2$

したがって、$f(x) = 2x + 2$

次に、積分区間 $[a, x]$ の下端 $x = a$ を代入します。定積分において積分区間の下端と上端が等しいとき、積分値は0となるので、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$

$x = a$ を $x^2 + 2x - 3$ に代入すると、

$a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a+3)(a-1) = 0$

$a = -3, 1$

$f(x) = 2x + 2$ を与えられた積分に代入して、$a$ の値を確かめます。

$a = 1$ のとき、

$\int_{1}^{x} (2t+2) dt = [t^2 + 2t]_{1}^{x} = (x^2 + 2x) - (1+2) = x^2 + 2x - 3$

これは与えられた式と一致します。

$a = -3$ のとき、

$\int_{-3}^{x} (2t+2) dt = [t^2 + 2t]_{-3}^{x} = (x^2 + 2x) - (9 - 6) = x^2 + 2x - 3$

これも与えられた式と一致します。

よって、$a = 1, -3$

(2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

両辺を $x$ で微分します。積分の微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (2x^2 + x + a) = 4x + 1$

したがって、$f(x) = 4x + 1$

次に、$x = 1$ を代入します。

$\int_{1}^{1} f(t) dt = 0$

$2(1)^2 + 1 + a = 0$

$2 + 1 + a = 0$

$3 + a = 0$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 2x + 2$, $a = 1, -3$

(2) $f(x) = 4x + 1$, $a = -3$