与えられた関数を微分する問題です。関数は全部で5つあります。 (1) $ \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3} $ (2) $ (2x - 3)(x^2 + 5x + 2) $ (3) $ \frac{2}{x^3 - 3} $ (4) $ \frac{2x + 3}{3x - 2} $ (5) $ \frac{4x - 1}{x^2 + x + 1} $

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数は全部で5つあります。

(1) $\frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$

(2) $(2x - 3)(x^2 + 5x + 2)$

(3) $\frac{2}{x^3 - 3}$

(4) $\frac{2x + 3}{3x - 2}$

(5) $\frac{4x - 1}{x^2 + x + 1}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に微分します。$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ です。$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ であることを利用します。

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。または、展開してから微分しても構いません。

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

(4) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

(5) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

(1)

$(\frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3})' = \frac{3}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 - 2 - 2 \cdot (-3)x^{-4} = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2)

$u = 2x - 3, v = x^2 + 5x + 2$ とすると $u' = 2, v' = 2x + 5$

$(2x - 3)(x^2 + 5x + 2) = 2x^3 + 10x^2 + 4x - 3x^2 - 15x - 6 = 2x^3 + 7x^2 - 11x - 6$

$(2x^3 + 7x^2 - 11x - 6)' = 6x^2 + 14x - 11$

(3)

$u = 2, v = x^3 - 3$ とすると $u' = 0, v' = 3x^2$

$(\frac{2}{x^3 - 3})' = \frac{0 \cdot (x^3 - 3) - 2 \cdot 3x^2}{(x^3 - 3)^2} = \frac{-6x^2}{(x^3 - 3)^2}$

(4)

$u = 2x + 3, v = 3x - 2$ とすると $u' = 2, v' = 3$

$(\frac{2x + 3}{3x - 2})' = \frac{2(3x - 2) - (2x + 3)3}{(3x - 2)^2} = \frac{6x - 4 - 6x - 9}{(3x - 2)^2} = \frac{-13}{(3x - 2)^2}$

(5)

$u = 4x - 1, v = x^2 + x + 1$ とすると $u' = 4, v' = 2x + 1$

$(\frac{4x - 1}{x^2 + x + 1})' = \frac{4(x^2 + x + 1) - (4x - 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4x + 4 - (8x^2 + 4x - 2x - 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4x + 4 - 8x^2 - 2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2 + x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2) $6x^2 + 14x - 11$

(3) $\frac{-6x^2}{(x^3 - 3)^2}$

(4) $\frac{-13}{(3x - 2)^2}$

(5) $\frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2 + x + 1)^2}$