2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

また、2つの解 $\alpha, \beta$ がともに正である条件は、$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。

まず、$x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (2m)^2 - 4(m+6) = 4m^2 - 4m - 24 = 4(m^2 - m - 6) = 4(m-3)(m+2)$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ であるから、

$4(m-3)(m+2) > 0$

$(m-3)(m+2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 3$

次に、解と係数の関係より、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = m+6$

2つの解がともに正であるためには、$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ が必要である。

$-2m > 0$ より、$m < 0$

$m+6 > 0$ より、$m > -6$

以上より、$m$ の条件は

(i) $m < -2$ または $m > 3$

(ii) $m < 0$

(iii) $m > -6$

これらを全て満たす $m$ の範囲は、$-6 < m < -2$ である。

3. 最終的な答え

$-6 < m < -2$