与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、因数分解を行う。

まず、式を展開する。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を整理して因数分解しやすい形にする。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$

$a$について整理する。

$= a^2(b-c) + a(-b^2 + c^2) + (b^2c - c^2b)$

$= a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b - c)$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b - c)$

$(b-c)$でくくる。

$= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$