与えられた分数の分母を有理化し、簡略化します。分数は $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡略化します。分数は $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{5}+1$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}$

分子を計算します:

$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$

分母を計算します:

$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}$

次に、分子と分母を2で割って簡略化します。

$\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$