与えられた式 $\frac{\sqrt{2+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子の根号の中身を簡略化することを考えます。$\sqrt{2+2\sqrt{3}}$ を $a+b\sqrt{3}$ の形に変形できると仮定します。ここで$a$と$b$は有理数です。

$(\sqrt{2+2\sqrt{3}})^2 = (a+b\sqrt{3})^2$

$2+2\sqrt{3} = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3}$

この式から、次の2つの式が得られます。

$a^2 + 3b^2 = 2$

$2ab = 2$

2番目の式から、$ab = 1$、つまり$b = \frac{1}{a}$が得られます。これを1番目の式に代入すると次のようになります。

$a^2 + \frac{3}{a^2} = 2$

$a^4 + 3 = 2a^2$

$a^4 - 2a^2 + 3 = 0$

ここで、$x = a^2$ とおくと、$x^2 - 2x + 3 = 0$ という2次方程式が得られます。しかし、この方程式の判別式は $(-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ であり、負であるため、実数解を持ちません。

別の方法を試します。分子を$\sqrt{x}+\sqrt{y}$の形に変形できると仮定すると、

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$

$2+2\sqrt{3} = x+y+2\sqrt{xy}$

$x+y=2$, $xy = 3$

これより、$x(2-x)=3$, つまり、$x^2-2x+3=0$が得られます。これは実数解を持ちません。

さらに別の方法として、$2+2\sqrt{3}$を$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$の形に無理やり変形することを考えます。

$2+2\sqrt{3} = 1+3+2\sqrt{1\cdot3} = (\sqrt{1}+\sqrt{3})^2$

したがって、$\sqrt{2+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{1}+\sqrt{3} = 1+\sqrt{3}$

元の式に戻ると、

$\frac{\sqrt{2+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母の共役複素数 $2\sqrt{2}-\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 3}{8-3} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 3}{5}$