整式 $3x^3 - 2x^2 + 1$ をある整式 $A$ で割ると、商が $x+1$、余りが $x-3$ である。整式 $A$ を求める。

1. 問題の内容

整式 $3x^3 - 2x^2 + 1$ をある整式 $A$ で割ると、商が $x+1$、余りが $x-3$ である。整式 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

割り算の基本の関係式は、

$$(割られる数) = (割る数) \times (商) + (余り)$$

である。この問題の場合、

$$3x^3 - 2x^2 + 1 = A \times (x+1) + (x-3)$$

となる。$A$ を求めるために、この式を変形する。まず、余りを左辺に移項する。

$$3x^3 - 2x^2 + 1 - (x-3) = A \times (x+1)$$

$$3x^3 - 2x^2 + 1 - x + 3 = A \times (x+1)$$

$$3x^3 - 2x^2 - x + 4 = A \times (x+1)$$

両辺を $(x+1)$ で割ると、$A$ を得ることができる。

$$A = \frac{3x^3 - 2x^2 - x + 4}{x+1}$$

ここで、筆算または組立除法を用いて、多項式の割り算を行う。

$3x^3 - 2x^2 - x + 4$ を $x+1$ で割ると、商は $3x^2 - 5x + 4$、余りは $0$ となる。

よって、

$$A = 3x^2 - 5x + 4$$

3. 最終的な答え

$A = 3x^2 - 5x + 4$