$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

となることを利用します。

$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に変形することを考えます。

$a+b=4$

$ab=3$

となる $a,b$ を求めます。

$a=3,b=1$ が条件を満たすことがわかります。

したがって、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3+1+2\sqrt{3\times 1}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2}=\sqrt{3}+1$

となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}+1$