与えられた問題は不定積分 $\int \sqrt{1+x^2} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は不定積分 $\int \sqrt{1+x^2} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いて解くことができます。具体的には、$x = \sinh(t)$ という置換を行います。

* $x = \sinh(t)$ と置くと、$dx = \cosh(t) dt$ となります。

* $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = \cosh(t)$ となります。

* したがって、積分は $\int \sqrt{1+x^2} dx = \int \cosh(t) \cosh(t) dt = \int \cosh^2(t) dt$ となります。

* $\cosh^2(t) = \frac{1+\cosh(2t)}{2}$ なので、$\int \cosh^2(t) dt = \int \frac{1+\cosh(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1+\cosh(2t)) dt = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2}\sinh(2t)) + C$

* $\sinh(2t) = 2\sinh(t)\cosh(t)$ なので、$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2}\sinh(2t)) + C = \frac{1}{2} (t + \sinh(t)\cosh(t)) + C$

* $x = \sinh(t)$ より、$t = \sinh^{-1}(x)$ であり、$\cosh(t) = \sqrt{1+x^2}$ です。

* よって、$\frac{1}{2} (t + \sinh(t)\cosh(t)) + C = \frac{1}{2} (\sinh^{-1}(x) + x\sqrt{1+x^2}) + C$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$なので、

$\frac{1}{2}(\ln(x+\sqrt{x^2+1})+x\sqrt{1+x^2}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{1+x^2} + \sinh^{-1}(x)) + C = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \ln(x+\sqrt{x^2+1})) + C$