媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と表される曲線について、以下の問いに答える問題です。 (1) この曲線の概形をかきなさい。 (2) 曲線と $x$ 軸とで囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めなさい。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と表される曲線について、以下の問いに答える問題です。

(1) この曲線の概形をかきなさい。

(2) 曲線と $x$ 軸とで囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の概形

まず、$x$と$y$の関係式を求めます。$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x \cos t$ です。

また、$x = \sin t$ なので $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ です。

したがって、$y = 2x \sqrt{1 - x^2}$ となります。

$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$x$ は $0$ から $1$ まで変化し、$y$ は $0$ から $0$ まで変化します。

$y' = 2 \sqrt{1 - x^2} + 2x \frac{-2x}{2 \sqrt{1 - x^2}} = 2 \sqrt{1 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2(1 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = 0$ となるのは $2 - 4x^2 = 0$ すなわち $x^2 = \frac{1}{2}$ のときです。$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ($0 \le x \le 1$ より)。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = 2 \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 2 \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

よって、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき極大値 $y = 1$ をとります。

$x=0$ のとき $y=0$、$x=1$ のとき $y=0$ です。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ では $y' > 0$、$\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 1$ では $y' < 0$ となります。

(2) 回転体の体積

回転体の体積 $V$ は

$V = \pi \int_0^1 y^2 dx = \pi \int_0^1 (2x \sqrt{1 - x^2})^2 dx = 4 \pi \int_0^1 x^2 (1 - x^2) dx = 4 \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = 4 \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 4 \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 4 \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = 4 \pi \frac{2}{15} = \frac{8 \pi}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 概形は省略（$y = 2x\sqrt{1 - x^2}$ のグラフを描画すれば良い）

(2) $V = \frac{8 \pi}{15}$