複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、$z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。 (1) $|z-3|=1$ (2) $|z+2i|=2$ (3) $|z+2|=|z-i|$ (4) $|z+2+5i|=|z-1+3i|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、$z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。

(1) $|z-3|=1$

(2) $|z+2i|=2$

(3) $|z+2|=|z-i|$

(4) $|z+2+5i|=|z-1+3i|$

2. 解き方の手順

(1) $|z-3|=1$ は、複素数平面上で点 $3$ からの距離が $1$ である点の集合を表します。これは、中心が $3$ 、半径が $1$ の円です。

(2) $|z+2i|=2$ は、複素数平面上で点 $-2i$ からの距離が $2$ である点の集合を表します。これは、中心が $-2i$ 、半径が $2$ の円です。

(3) $|z+2|=|z-i|$ は、複素数平面上で点 $-2$ と点 $i$ からの距離が等しい点の集合を表します。これは、点 $-2$ と点 $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線です。

具体的には、 $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|x+yi+2|=|x+yi-i|$

$|(x+2)+yi|=|x+(y-1)i|$

$\sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$

$(x+2)^2+y^2=x^2+(y-1)^2$

$x^2+4x+4+y^2=x^2+y^2-2y+1$

$4x+2y+3=0$

$4x+2y+3=0$ は直線を表します。

(4) $|z+2+5i|=|z-1+3i|$ は、複素数平面上で点 $-2-5i$ と点 $1-3i$ からの距離が等しい点の集合を表します。これは、点 $-2-5i$ と点 $1-3i$ を結ぶ線分の垂直二等分線です。

具体的には、 $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|x+yi+2+5i|=|x+yi-1+3i|$

$|(x+2)+(y+5)i|=|(x-1)+(y+3)i|$

$\sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}$

$(x+2)^2+(y+5)^2=(x-1)^2+(y+3)^2$

$x^2+4x+4+y^2+10y+25=x^2-2x+1+y^2+6y+9$

$6x+4y+19=0$

$6x+4y+19=0$ は直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心が $3$ 、半径が $1$ の円

(2) 中心が $-2i$ 、半径が $2$ の円

(3) 直線 $4x+2y+3=0$

(4) 直線 $6x+4y+19=0$