集合 $A, B, C$ と写像 $f: A \rightarrow B$ が与えられている。 (1) $f$ が全射、単射、全単射であるかを判定する。 (2) $f(A), f(B), f(C)$ を列挙する。 (3) $f(B \cap C) = f(B) \cap f(C)$ および $f(B \cup C) = f(B) \cup f(C)$ が成り立つかを判定する。

1. 問題の内容

集合 $A, B, C$ と写像 $f: A \rightarrow B$ が与えられている。

(1) $f$ が全射、単射、全単射であるかを判定する。

(2) $f(A), f(B), f(C)$ を列挙する。

(3) $f(B \cap C) = f(B) \cap f(C)$ および $f(B \cup C) = f(B) \cup f(C)$ が成り立つかを判定する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f$ の像を計算する。

$f(0) = 0$

$f(1) = 2$

$f(2) = 4$

$f(3) = 0$

$f(4) = 2$

$f(5) = 4$

よって、$f(A) = \{0, 2, 4\}$

$B = \{0, 2, 4\}$ であり、$f(A) = B$ なので、$f$ は全射である。

$f(0) = f(3) = 0$ なので、$f$ は単射ではない。

$f$ が単射でないので、$f$ は全単射でもない。

(2)

$f(A) = \{0, 2, 4\}$ （上で計算済み）

$B = \{0, 2, 4\}$ なので、

$f(B) = \{f(0), f(2), f(4)\} = \{0, 4, 2\}$

$C = \{0, 3, 5\}$ なので、

$f(C) = \{f(0), f(3), f(5)\} = \{0, 0, 4\} = \{0, 4\}$

(3)

$B = \{0, 2, 4\}$

$C = \{0, 3, 5\}$

$B \cap C = \{0\}$

$f(B \cap C) = \{f(0)\} = \{0\}$

$f(B) = \{0, 2, 4\}$

$f(C) = \{0, 4\}$

$f(B) \cap f(C) = \{0, 4\}$

したがって、$f(B \cap C) \neq f(B) \cap f(C)$

次に、$B \cup C$ を計算する。

$B \cup C = \{0, 2, 3, 4, 5\}$

$f(B \cup C) = \{f(0), f(2), f(3), f(4), f(5)\} = \{0, 4, 0, 2, 4\} = \{0, 2, 4\}$

$f(B) \cup f(C) = \{0, 2, 4\} \cup \{0, 4\} = \{0, 2, 4\}$

したがって、$f(B \cup C) = f(B) \cup f(C)$

3. 最終的な答え

(1) 全射である。単射ではない。全単射ではない。

(2) $f(A) = \{0, 2, 4\}$、$f(B) = \{0, 2, 4\}$、$f(C) = \{0, 4\}$

(3) $f(B \cap C) = f(B) \cap f(C)$ は成り立たない。$f(B \cup C) = f(B) \cup f(C)$ は成り立つ。