$a, b$ を正の数とし、$xy$ 平面の2点 $A(a, 0)$ および $B(0, b)$ を頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第1象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の数とし、$xy$ 平面の2点 $A(a, 0)$ および $B(0, b)$ を頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第1象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $C$ の座標を求める。ベクトル $\overrightarrow{OC}$ は、ベクトル $\overrightarrow{OA}$ を $60^\circ$ 回転させて長さを変えずに平行移動させることで得られる。あるいはベクトル $\overrightarrow{OB}$ を $-60^\circ$ 回転させて長さを変えずに平行移動させることでも得られる。ここではベクトル $\overrightarrow{OA}$ を $60^\circ$ 回転させる方法を考える。

ベクトル $\overrightarrow{OA} = (a, 0)$ を $60^\circ$ 回転させると、

$$(a\cos 60^\circ - 0 \sin 60^\circ, a\sin 60^\circ + 0\cos 60^\circ) = \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2} \right)$$

となる。よって、点 $C$ の座標は

$$C = \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2} \right) + (0, b) = \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2} + b \right)$$

あるいは、ベクトル $\overrightarrow{OB}=(0,b)$ を$-60^\circ$回転させると、

$$(0 \cos(-60^\circ) - b \sin(-60^\circ), 0 \sin(-60^\circ) + b \cos(-60^\circ)) = \left( \frac{\sqrt{3}b}{2}, \frac{b}{2} \right)$$

となる。よって、点 $C$ の座標は

$$C = \left( \frac{\sqrt{3}b}{2}, \frac{b}{2} \right) + (a, 0) = \left( a + \frac{\sqrt{3}b}{2}, \frac{b}{2} \right)$$

これら2つの表式から $C$ の $x$ 座標と $y$ 座標は一致するはずなので、

$$\frac{a}{2} = a + \frac{\sqrt{3}b}{2} \quad \text{and} \quad \frac{\sqrt{3}a}{2} + b = \frac{b}{2}$$

より

$$a = a + \sqrt{3} b \quad \text{and} \quad \sqrt{3} a = -b$$

が得られるが、これらは矛盾しているので計算を間違えた。

点 $C$ の座標を求める別の方法として、$|AC|=|BC|=|AB|$ から $C$ の座標を求めることを試みる。

$C$ を$(x,y)$ とおく。

$|AC| = \sqrt{(x-a)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-a)^2+y^2}$

$|BC| = \sqrt{(x-0)^2+(y-b)^2} = \sqrt{x^2+(y-b)^2}$

$|AB| = \sqrt{(a-0)^2+(0-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$

$|AC|^2 = |AB|^2$ より、

$(x-a)^2 + y^2 = a^2+b^2$

$x^2-2ax+a^2+y^2 = a^2+b^2$

$x^2-2ax+y^2=b^2$

$|BC|^2=|AB|^2$ より、

$x^2 + (y-b)^2 = a^2+b^2$

$x^2+y^2-2by+b^2=a^2+b^2$

$x^2+y^2-2by = a^2$

$x^2-2ax+y^2=b^2$ から $x^2+y^2-2by = a^2$ を引くと、

$-2ax+2by=b^2-a^2$

$2ax-2by=a^2-b^2$

$C$ が $D$ に含まれる条件は、

$0 \le \frac{a - \sqrt{3}b}{2} \le 1$

$0 \le \frac{\sqrt{3}a + b}{2} \le 1$

である。

$0 \le \frac{a - \sqrt{3}b}{2} \le 1$ より、 $0 \le a - \sqrt{3}b \le 2$

$0 \le \frac{\sqrt{3}a + b}{2} \le 1$ より、 $0 \le \sqrt{3}a + b \le 2$

$a \ge \sqrt{3} b$ かつ $\sqrt{3}a + b \le 2$ より、$a, b$ の存在する範囲は、$a \ge \sqrt{3}b$ および $\sqrt{3}a + b \le 2$ で囲まれた領域である。

さらに、$0 < a \le 1, 0 < b \le 1$ を考慮する。

$\sqrt{3}a+b = 2$ と $a = \sqrt{3}b$ の交点は、 $\sqrt{3}\sqrt{3}b+b = 2$ より $4b = 2$ で $b = \frac{1}{2}$。このとき $a = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$。

$\sqrt{3}a+b = 2$ と $a=1$ の交点は $\sqrt{3}+b=2$ より $b=2-\sqrt{3} < 1$。

$a = \sqrt{3}b$ と $b=1$ の交点は $a=\sqrt{3}>1$ なので、$0<b\le 1$ より、適切ではない。

3. 最終的な答え

$ab$ 平面上に、$a \ge \sqrt{3}b$、$\sqrt{3}a + b \le 2$、$0 < a \le 1$、$0 < b \le 1$ を満たす領域を図示する。

$b=0$, $a=0$ は含まない。

$a$軸、$b$軸、$a=1$ および $b=1$で囲まれた正方形の内部の領域のうち、$a = \sqrt{3}b$ の直線より下側、かつ $\sqrt{3}a+b = 2$ の直線より下側の領域。