一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。 (1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PC, $\cos\theta$, $\triangle PBC$ の面積を求める。 (2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OG, 正四面体OABCの体積V, 四面体OPBCの体積V', 頂点Oから平面PBCに下ろした垂線OHを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。

(1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PC, $\cos\theta$, $\triangle PBC$ の面積を求める。

(2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OG, 正四面体OABCの体積V, 四面体OPBCの体積V', 頂点Oから平面PBCに下ろした垂線OHを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$PB = PC$ であり、$OP = 2, PA = 4$ なので、$\triangle OPB$ で余弦定理を用いると、

$PB^2 = OP^2 + OB^2 - 2 \times OP \times OB \times \cos(\frac{\pi}{3}) = 2^2 + 6^2 - 2 \times 2 \times 6 \times \frac{1}{2} = 4 + 36 - 12 = 28$

よって、$PB = PC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$\triangle PBC$ で余弦定理を用いると、

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 \times PB \times PC \times \cos\theta$

$6^2 = 28 + 28 - 2 \times 2\sqrt{7} \times 2\sqrt{7} \times \cos\theta$

$36 = 56 - 56\cos\theta$

$56\cos\theta = 20$

$\cos\theta = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{5}{14})^2 = 1 - \frac{25}{196} = \frac{171}{196}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{171}{196}} = \frac{\sqrt{171}}{14} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

$\triangle PBC$ の面積は、$S = \frac{1}{2} \times PB \times PC \times \sin\theta = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{7} \times 2\sqrt{7} \times \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{1}{2} \times 28 \times \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}$

(2)

正四面体の高さOGは、$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

正四面体の体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times OG = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \times 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

四面体OPBCの体積V'は、$V' = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\triangle PBC$の面積は$3\sqrt{19}$なので、$V' = \frac{1}{3} \times \triangle PBC \times OH$

$6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{19} \times OH$

$6\sqrt{2} = \sqrt{19} \times OH$

$OH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{38}}{19}$

3. 最終的な答え

(1)

$PB = PC = 2\sqrt{7}$

$\cos\theta = \frac{5}{14}$

$\triangle PBC$ の面積 $S = 3\sqrt{19}$

(2)

$OG = 2\sqrt{6}$

$V = 18\sqrt{2}$

$V' = 6\sqrt{2}$

$OH = \frac{6\sqrt{38}}{19}$