三角形ABCの内部に点Pがあり、正の数$l, m, n$について、ベクトルに関する関係式 $l\vec{PA} + m\vec{PB} + n\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立っているとき、三角形PBC, PCA, PABの面積比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$ を示す。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、正の数$l, m, n$について、ベクトルに関する関係式 $l\vec{PA} + m\vec{PB} + n\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立っているとき、三角形PBC, PCA, PABの面積比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトルの方程式を変形します。点Aを基準とした位置ベクトルで表すことを考えます。$\vec{AP} = -\vec{PA}$などを用いて書き換えると、

$l(-\vec{AP}) + m(\vec{AB} - \vec{AP}) + n(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

これを整理して$\vec{AP}$について解くと、

$(l+m+n)\vec{AP} = m\vec{AB} + n\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + n\vec{AC}}{l+m+n}$

次に、この式を変形して、点Pが線分BCを内分する点を通ることを示します。

$\vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + n\vec{AC}}{m+n} \cdot \frac{m+n}{l+m+n}$

ここで、$\vec{AD} = \frac{m\vec{AB} + n\vec{AC}}{m+n}$ とおくと、点Dは線分BCを $n:m$ に内分する点です。

このとき、$\vec{AP} = \frac{m+n}{l+m+n} \vec{AD}$ となり、点Pは線分ADを $(m+n) : l$ に内分する点となります。

さて、$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、$\triangle PBC = \frac{l}{l+m+n} S$, $\triangle PCA = \frac{m}{l+m+n} S$, $\triangle PAB = \frac{n}{l+m+n} S$ であることを示します。

$\triangle PBC = \frac{AD}{AP} \triangle PBD = \frac{AD}{AP} \frac{m}{m+n} \triangle ABC = \frac{l+m+n}{m+n} \frac{m}{m+n}S$

$\triangle PAC = \dots$

$\triangle PAB = \dots$

別解:

$\vec{PA}, \vec{PB}, \vec{PC}$ の係数の比に着目し、面積比を求めることを考えます。

$l\vec{PA} + m\vec{PB} + n\vec{PC} = \vec{0}$ を書き換えて、

$l\vec{PA} + m\vec{PB} = -n\vec{PC}$

ここで、点Dを $l\vec{DA} + m\vec{DB} = \vec{0}$ となるように線分AB上に取ると、

$l\vec{PA} + m\vec{PB} = (l+m) \vec{PD}$

したがって、$(l+m) \vec{PD} = -n\vec{PC}$ となり、点Pは線分CD上にあることがわかります。

このとき、$\triangle PAD : \triangle PBD = m : l$ となり、$\triangle CAD : \triangle CBD = m : l$ となります。

また、$(l+m) PD = n PC$ より、$PC : PD = l+m : n$

$\triangle PAC : \triangle PAD = PC : PD = l+m : n$

$\triangle PBC : \triangle PBD = PC : PD = l+m : n$

したがって、

$\triangle PAC = \frac{l+m}{n} \triangle PAD = \frac{l+m}{n} \frac{m}{l+m} \triangle PAB$

$\triangle PBC = \frac{l+m}{n} \triangle PBD = \frac{l+m}{n} \frac{l}{l+m} \triangle PAB$

$\triangle PAC = \frac{m}{n} \triangle PAB$

$\triangle PBC = \frac{l}{n} \triangle PAB$

よって $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$

3. 最終的な答え

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$