三角形ABCにおいて、AB = √13 cm, BC = 6 cm, CA = 5 cmである。点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする。 (1) BH = $x$ cmとしたとき、直角三角形ABHとACHにおける三平方の定理から、$AH^2$を$x$の式で2通りに表し、$x$の値を求める。ただし、$0 < x < 6$とする。 (2) 三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = √13 cm, BC = 6 cm, CA = 5 cmである。点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする。

(1) BH = $x$ cmとしたとき、直角三角形ABHとACHにおける三平方の定理から、$AH^2$を$x$の式で2通りに表し、$x$の値を求める。ただし、$0 < x < 6$とする。

(2) 三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABHにおいて、三平方の定理より

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = (\sqrt{13})^2 - x^2 = 13 - x^2$

三角形ACHにおいて、CH = BC - BH = 6 - $x$であるから、三平方の定理より

$AH^2 = AC^2 - CH^2 = 5^2 - (6-x)^2 = 25 - (36 - 12x + x^2) = -11 + 12x - x^2$

$AH^2$を2通りの式で表したので、

$13 - x^2 = -11 + 12x - x^2$

$13 = -11 + 12x$

$24 = 12x$

$x = 2$

(2)

三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積は、底面の半径がAHの円錐2つを合わせたものになる。

AH = $\sqrt{13 - x^2} = \sqrt{13 - 2^2} = \sqrt{9} = 3$

よってAH = 3 cm

円錐ABHの体積は、$\frac{1}{3} \pi (AH)^2 (BH) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (2) = 6\pi$

円錐ACHの体積は、$\frac{1}{3} \pi (AH)^2 (CH) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4) = 12\pi$

全体の体積は、$6\pi + 12\pi = 18\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $18\pi \text{ cm}^3$